Tanti anni fa (non tanti, diciamo fino agli anni '70) non c'erano le calcolatrici elettroniche che ci sono ora. Allora, per fare i calcoli, si utilizzavano, tra l'altro, le "tavole dei logaritmi".

Si chiamavano "tavole" ma erano solo delle "tabelle"

Qui di seguito ne mostro una semplificata e ti insegnerò a usarla per fare calcoli come:

²√2; ²√20; ³√4; ³√40; ³√400; ²√14; ³√14 radici

3.71^5.12 (cioè 3.71^5.12) elevamento a potenza

oltre che moltiplicazioni e divisioni.

Intanto diciamo cos'è il logaritmo di un numero.

Cominciamo con degli esempi.

Inglese.

Il logaritmo è quel numero che ci dice quante volte dobbiamo moltiplicare 10 per sé stesso per ottenere il numero di partenza (quello di cui cioè vogliamo fare il logaritmo)

I matematici dicono che si tratta dell'esponente da dare a 10 per ottenere il numero di partenza (è la stessa cosa!).

E' chiaro che se il numero non è una potenza di 10 le cose sono un po' più complicate; ad esempio qual è il Log(324)?

Ci aspettiamo che sia maggiore di 2 [che è il Log(100)] e minore di 3 [che è Log(1000)]

Le tavole dei logaritmi ci permettono proprio di trovare questo numero.

Qui di seguito trovi la famosa tavola dei logaritmi. Puoi anche scaricarne una versione PDF che puoi agevolmente stampare.

Inglese

Nella tabella troviamo i logaritmi dei numeri compresi tra 1 e 10; questi numeri sono indicati in blu. I numeri in nero sono i logaritmi.

La prima riga in alto rappresenta quindi i logaritmi di 1.00, 1.01, 1.02 ... fino a 1.09

Poiché sappiamo che i logaritmi di numeri compresi tra 1 e 10 sono valori compresi tra 0 e 1 si capisce che le 4 cifre mostrate rappresentano la sola parte decimale.

Ma facciamo subito un esempio; si voleva trovare il logaritmo di 324

Cerchiamo 32 sulla colonna di sinistra e poi andiamo a cercare in corrispondenza della colonna 4; troviamo 5105 che non è ovviamente il numero cercato che come già sappiamo è compreso tra 2 e 3.

A questo punto ti devo spiegare il trucco col quale è stata costruita la tabella precedente; poiché la parte decimale dei logaritmi si ripete ogni volta che moltiplichiamo per 10 il numero da cui siamo partiti, per costruire la tabella, invece di fare tante tabelle simili, se ne fa una sola. Basta aggiustare il valore della parte intera.

Per capire completamente occorre a questo punto indagare un po' di più sulle proprietà dei logaritmi.

Inglese

Inglese

Supponiamo di voler moltiplicare 100x1000

100x1000=10²x10³=10x10 x 10x10x10=10⁵

Cioè è stato sufficiente sommare gli esponenti dei numeri di partenza. Ma se gli esponenti dei numeri rappresentano i logaritmi dei numeri questo vuole dire che:

Il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori.

Scritto in formula:

Questa è la magia dei logaritmi; abbiamo trasformato una moltiplicazione in una somma!

Utilizziamo subito questa formula per scoprire una cosa utile nel cercare i logaritmi.

Log(324)= Log(100x3,24) = Log(100) + Log(3,24)

Log(3240)= Log(1000x3,24) = Log(1000) + Log(3,24)

Log(32,4)= Log(10x3,24) = Log(10) + Log(3,24)

Siccome i logaritmi di 10, 100 e 1000 li conosciamo (sono rispettivamente 1, 2 e 3) per calcolare i precedenti logaritmi ci serve solo conoscere il Log(3,24); questo logaritmo è proprio quello riportato in tabella. La tabella infatti riporta i logaritmi dei numeri compresi tra 1 e 10; i valori sono quindi compresi tra 0 [che è il Log(1)] e 1 [che è il Log(10)].

In altre parole, i numeri presenti in tabella sono le sole parti decimali dei logaritmi; la parte intera dobbiamo metterla noi. Se tutto è chiaro possiamo quindi dire che:

 

Log(324) = 2,5105

Log(3240) = 3,5105

Log(32,4) = 1,5105

Per verificare se è tutto chiaro prova a calcolare i seguenti logaritmi di cui ti do anche il risultato:

 

13,4	Log(13,4) = 1,1271
25000	Log(25000) = 4,3979
3,14	Log(3,14) = 0,4969
3	Log(3) = 0,4771
14	Log(14) = 1,1461

Prima di procedere proviamo a fare un calcolo con quanto appena appreso: quanto fa 324x3?

Basta sommare i logaritmi dei due numeri e poi cercare l'antilogaritmo sempre utilizzando la tabella.

 

Log(324)	2,5105	+
Log(3)	0,4771	=
	2,9876

 

Log(324) + Log(3) = 2,9876 = Log(324x3)

Cerchiamo 9876 sulla tabella; troviamo 9877 come numero più vicino cui corrisponde 9,72

Cioè il Log(9,72)=0,9877

ma allora 2,9877 corrisponde a 972 che è il risultato atteso.

Inglese

Inglese

Forse stai pensando di aver faticato molto, forse troppo, per un risultato del genere ma ci sono le seguenti considerazioni che si possono fare:

abbiamo scoperto un diverso approccio

una volta non esistevano le calcolatrici

mediante tabelle più grandi (e quindi con mantisse con più di 4 cifre) si fanno calcoli più precisi

come vedremo si possono fare calcoli di radici e di elevamento a potenza che sono molto più difficili da risolvere a mano

Il sistema funziona anche senza corrente elettrica

Come succede anche in altri casi (ad esempio con la navigazione astronomica) abbiamo barattato mezzi semplici e uso complesso con semplicità d'uso e mezzi complessi.

A questo punto però non vorrei essere frainteso; non ritengo l'uso dei logaritmi superiore all'uso di una calcolatrice (sarebbe da folli!) ma ritengo che imparare ad usare i logaritmi riesca ad alimentare molto meglio ed in misura maggiore il nostro cervello. Chi ha provato una soddisfazione nell'istante in cui ha compreso qualcosa che gli era in precedenza oscuro capisce cosa intendo.

A questo punto procediamo con i logaritmi e le questioni connesse.

Facciamo di nuovo il prodotto ma con i numeri seguenti:

324x3,14

 

Log(324)	2,5105	+
Log(3,14)	0,4969	=
	3,0074

 

Log(324) + Log(3,14) = 3,0074 = Log(324x3,14)

Questa volta dobbiamo cercare 0074 sulla tabella; ci troviamo a scegliere tra 0043 cui corrisponde 1,01 e 0086 cui corrisponde 1,02; poiché 0086 è più vicino, scegliamo quest'ultimo.

Il risultato atteso è pertanto 1020.

 Se proviamo con una calcolatrice scopriamo che il risultato esatto è invece 1017,36.

Prima di essere delusi leggete quanto segue.

L'ultimo esempio l'ho scelto in modo tale da metterci nella situazione peggiore della nostra tabella (è cioè nella parte iniziale); nonostante tutto e nonostante la semplicità della tabella (solo 4 cifre per un totale di soli 900 numeri) l'errore che abbiamo commesso è di circa 3 su 1020, cioè il 3‰; il massimo errore in questa zona di tabella è pari al 5‰ mentre il massimo errore nella parte finale della tabella è pari a 0,5‰ (dieci volte meno). Complicando l'uso della tabella mediante le parti proporzionali potremmo ottenere risultati migliori ma noi ci accontentiamo così.

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Inglese

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Vediamo ora come ci si comporta con i numeri minori di 1. Ad esempio qual è il Log(0,0324)?

Introduciamo a questo punto un'altra proprietà dei logaritmi.

Supponiamo di voler fare una divisione come ad esempio 1000÷100

1000÷100=10³÷10²=(10x10x10)÷(10x10)=10¹

Cioè è sufficiente sottrarre gli esponenti dei numeri di partenza. Analogamente a quanto visto per il prodotto possiamo dire che:

Il logaritmo della divisione di due numeri è uguale alla differenza dei logaritmi dei singoli fattori.

Scritto in formula:

Pertanto

Log(0,0324) = Log(3,24 ÷ 100) = Log(3,24 ÷ 10²) =

Log(3,24) - Log(10²) = Log(3,24) -2 = 0,5105 -2

Possiamo anche lasciare il logaritmo in questa forma (una parte positiva ed una negativa) poiché a volte si possono avere delle semplificazioni successive.

Facciamo ora il seguente calcolo:

13,4÷3,14

 

Log(13,4)	1,1271	-
Log(3,14)	0,4969	=
	0,6302

 

Log(13,4) - Log(3,14) = 0,6302 = Log(13,4÷3,14)

Il risultato è quindi 4,27.

Inglese

Qui di seguito fornisco le leggi dei logaritmi per l'elevamento a potenza e per le radici di indice qualsiasi.

Utilizziamo la (4) per fare √14 e ³√14

Log(√14) = (1/2) x Log(14) = 1,1461 ÷ 2 = 0,5730

pertanto √14 = 3,74

Log(³√14) = (1/3) x Log(14) = 1,1461 ÷ 3 = 0,3820

pertanto ³√14 = 2,41

Calcoliamo ora 324¹⁰

Log(324¹⁰) = 10 x Log(324) = 10 x 2,5105 = 25,105

Cerchiamo quindi 1050 tra le mantisse ed otteniamo 1,27 che va moltiplicato per 10²⁵. Scritto per esteso ho:

12.700.000.000.000.000.000.000.000

cioè 12 milioni 700 mila miliardi di miliardi.

Avrai notato l'agilità con cui si manipolano grandi numeri.

Ciò accade in modo analogo per i piccoli numeri.

Inglese

I logaritmi qui trattati sono i cosiddetti logaritmi comuni di Briggs (Henry Briggs) e cioè quelli in base 10; ovviamente è possibile utilizzare come base anche altri numeri.

Sulle calcolatrici il logaritmo in base 10 è indicato con

Se come base utilizziamo il numero e

(e=2.718281828459045235360287471352662497757247...)

si ottengono i logaritmi naturali o neperiani (introdotti da Nepero)

Sulle calcolatrici il logaritmo in base e è indicato con

Un uso particolarmente felice dei logaritmi è stato fatto nel passato con la realizzazione di regoli calcolatori.

Se vuoi la tabella dei logaritmi con mantissa a 5 cifre e parti proporzionali la trovi qui. Con questa tabella composta di sole 9 pagine puoi fare calcoli molto più precisi di quelli mostrati fin qui.

Se ci fosse qualcuno interessato ad imparare ad usarla me lo faccia sapere e provvederò ad integrare questa pagina.

La pagina dei logaritmi terminava qui ma, incredibilmente, c'è stata una persona (Domenico L.) che mi ha chiesto di sviluppare anche quest'ultima parte. Poiché mi ero impegnato, provvedo con l'integrazione. (22/05/2008)

Supponiamo di voler calcolare il Log(25,373); usando la tabella dei logaritmi con mantissa a 4 cifre avremmo dovuto prendere il logaritmo di 25,4 ottenendo Log(25,4)=1,4048; se usiamo invece la tabella dei logaritmi con mantisse a 5 cifre abbiano:

Log(25,37) = 1,40432

Log(25,38) = 1,40449

Il logaritmo che cerchiamo deve essere compreso tra questi due valori.

Anche fermandoci qui e scegliendo tra questi due valori, abbiamo comunque aumentato la precisione rispetto alla tabella precedente; però si può fare di più. La differenza tra i due logaritmi è pari a 40449-40432=17; cerchiamo quindi 17 sulla tabellina riportata in basso (tabella delle parti proporzionali) e vediamo che in corrispondenza del 3 trovo il valore 5,1. E' sufficiente quindi aggiungere 5,1 a 40432.

Riassumendo:

Log(25,373) = 1,40437. (ho approssimato la parte decimale in modo da avere comunque le mantisse a 5 cifre)

Anche per la ricerca di un numero a partire dal suo logaritmo utilizzeremo le parti proporzionali,

Supponiamo che il Log(x) = 1,36466; quanto vale x?

Al solito possiamo dire che sarà compreso tra 23,15 e 23,16

Per utilizzare le parti proporzionali facciamo la differenza tra i due logaritmi e quindi 36474-36455=19.

Andiamo a cercare tra le parti proporzionali nella colonna 19 il valore pari alla differenza tra il logaritmo di x e quello immediatamente più basso; nel nostro caso 36466-36455=11. Il valore più prossimo è 11,4 in corrispondenza del quale leggiamo il numero 6. Pertanto x=23,156.

Operando con queste tabelle ed utilizzando le parti proporzionali possiamo migliorare i calcoli di un fattore 100 (!) rispetto alla tabella semplice.

Buoni calcoli a tutti.